逻辑课前，布罗基与郝辛斯基因为下面这个逻辑推理是否正确而争论：
因为，老鼠不是狗，狗不怕猫；所以，老鼠怕猫。
“这个推理显然错误，”郝辛斯基很有把握地说，“根据推理的性质规则，否定前提只能推出否定的结论。这个推理的前提是否定的，但是结论却是肯定的，明显不符合推理的性质规则要求。”
“性质规则要求前提只有一句判断，这个推理的前提是两句判断，而且两句判断都是否定。教授说过，双重否定在性质上等于肯定，所以它们推出肯定判断是合乎逻辑的。”布罗基争论道。
“双重否定似乎不是你说的这个意思。不过，还是问问教授吧！”看到斯考尔教授走进教室，郝辛斯基转向教授提问。
听完争论的内容，教授给出结论：“这个推理显然是错误的。这与今天要讲到的三段论推理有关，”说着，教授示意大家阅读以下讲义内容：
三段论推理：两句判断作为前提，这两句前提中有一个共同的概念，这个概念叫“中项”，通过中项的媒介作用，推出结论。例如，已知：所有土库曼人都信仰真主安拉；马吉尼不信仰真主安拉。所以，马吉尼不是土库曼人。
两句前提中共同的概念是“信仰真主安拉”，这个概念是中项。
教授开始讲解：“三段论推理在我们日常生活中非常普遍，刚才你们所争论的推理‘老鼠不是狗，狗不怕猫，所以老鼠怕猫’就是一个三段论推理，这个三段论推理的中项是‘狗’。有些三段论推理是正确的，而有些三段论推理却是错误的，判别一个三段论推理是否正确需要掌握并且理解三段论推理规则。”说着，教授示意大家继续阅读讲义：
三段论推理规则
性质规则：
前提“肯定+肯定”，结论“肯定”；
前提“肯定+否定”，结论“否定”；
前提“否定+否定”，没有结论。
范围（周延）规则：
全部（周延）可以推全部（周延），也可以推部分（不周延）；部分（不周延）只能推部分（不周延），不能推全部（周延）。
作为中项的概念在前提中必须至少周延一次。
教授继续讲解：“由于三段论的前提是两句判断，所以，无论是性质规则还是范围规则都有了不同的表述。这里要注意，我说的是不同的表述，而规则都是相同的，只不过因为推理前提从一句变成了两句，所以相同的规则有了不同的表述。我先讲性质规则，同性质可推仍然成立。但是由于三段论推理的前提有两句，两句前提的性质有了不同的组合，组合有三种：两句前提都是肯定判断，结论就是肯定判断；两句前提中有一句否定判断，结论就是否定判断；如果两句前提都是否定判断，则推不出确定的结论。最后一种情况常常被简化为‘两否无结’，大家看下面具体的例子。”说完，教授写出三个推理：
推理一
已知：所有常绿植物都在冬季换叶（肯定），柏科植物是常绿植物（肯定），
所以：（肯定）柏科植物在冬季换叶。
推理二
已知：真菌不是细菌（否定），蘑菇是真菌（肯定），
所以：（否定）蘑菇不是细菌。
推理三
已知：侵略战争都不是正义战争（否定），两伊战争不是侵略战争（否定），
所以：无结论。
教授针对上述推理解释道，“推理一的两个前提都是肯定判断，所以结论是肯定判断；推理二的一句前提是肯定判断，加一句否定判断前提，所以结论是否定判断。推理三的两个前提都是否定判断，因此这两个前提推不出确定的结论。也就是‘两否无结’。”
“教授，您不是说过‘双重否定’在性质上等于肯定的吗？而现在您又说‘两否无结’，这不是冲突了？”布罗基提出疑问。
“这是两个不同的概念。”教授对布罗基回答道，“推理三的两个前提‘侵略战争都不是正义战争’和‘两伊战争不是侵略战争’都是否定判断，从两句否定的前提推不出确定的结论，这是‘两否无结’；一句判断性质上否定的同时，主项或者谓项再次被否定，这句判断在性质上是‘双重否定’，等价于肯定。例如，‘布罗基不是不理性的’是一句双重否定判断，它等于‘布罗基是理性的’，即在性质上等于肯定。”
“所以，从‘老鼠不是狗，狗不怕猫’不能推出‘老鼠怕猫的’，前提是两句否定判断，从中推不出明确的结论。”郝辛斯基接着教授的话说道。
教授对郝辛斯基表示肯定，“是的，在日常生活中，没有学过逻辑的人总是在两句否定判断前迷茫，不知道该如何推理。例如，由‘布罗基这学期没有选修高等数学，又‘郝辛斯基不是布罗基’，能推出‘所以郝辛斯基选修了高等数学’吗？”
“这个结论确实是不确定的。因为郝辛斯基不是布罗基，这学期选修了高等数学，但是我也不是布罗基，这学期我也没有选修高等数学。”姗羽滂关在旁边插话道。
“那我就不可以将某一句否定前提变成肯定，然后再进行推理吗？比如，已知‘老鼠不是狗，狗是不怕猫的’，所以‘老鼠不是不怕猫的’，即‘老鼠是怕猫的’。教授，我这个推理又有什么错误呢？”布罗基又提出疑问。
教授笑了笑，回答道，“这个推理合乎性质规则，但是它又不符合周延规则了。结论‘老鼠不是不怕猫的’，谓项是‘不怕猫的’，这一句是否定判断，所以‘不怕猫的’周延。但是推理的前提却是‘狗是不怕猫的’，这是肯定判断，谓项‘不怕猫的’不周延。所以，这个推理中‘不怕猫的’从前提不周延推出结论变成周延，违反了推理的周延规则，因此，这个推理还是错误的。”
“看来对判断性质进行等价转变只是语言形式的变化，不能将错误的推理变成正确的。”布罗基也认识到他做出变形后的推理的错误。
“是的，如果两句前提都是否定的，从三段论推理规则来说，这两句前提就无法推出确定的结论。”教授做出最后的总结。
学习总结
三段论推理是两句判断作为前提，通过两个判断共有“中项”的媒介作用所进行的推理。
三段论推理需要遵循性质规则，这表现为前提的组合，两个前提都肯定，推出肯定的结论；两个前提一句肯定一句否定，推出否定的结论；两句前提都否定，推不出确定的结论。
三段论推理的周延规则，概念在结论中周延，前提这个概念必须周延；中项在两个前提中至少周延一次。